Rumus Matematika

Senin, 23 Februari 2015

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

Translasi (Pergeseran)
Refleksi(Pencerminan)
Rotasi(Perputaran)
Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ini ilustrasinya :

TRANSLASI / PERGESERAN

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :

dimana :

a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

REFLEKSI / PENCERMINAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Pencerminan terhadap garis y = mx + c
Jika m = tan θ maka:

ROTASI / PERPUTARAN

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

DILATASI / PENSKALAAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Selain 4 transformasi yang telah dijelaskan diatas, juga terdapat 2 transformasi lagi yaitu shearing / gusuran dan stretching / regangan. Perhatikan penjelasan dibawah ini :
GUSURAN/SHEARING

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) akan digusur:

menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(6, 1), C2(16, 6), D2(13, 6)
menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 3), B3(4, 9), C3(4, 14), D3(1, 8)

Pengaruh nilai k:

untuk gusuran menurut arah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
untuk gusuran menurut arah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan sebagai berikut :
Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k maka :

Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k maka :

STRETCHING / REGANGAN

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) diregangkan:

searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(12, 1), C2(12, 6), D2(3, 6)
searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 2), B3(4, 2), C3(4, 12), D3(1, 12)

Pengaruh nilai k:

untuk regangan searah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
untuk regangan searah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k

Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

KOMPOSISI TRANSFORMASI
merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.

Komposisi Khusus :
1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar

2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.
3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.
4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.

LUAS HASIL TRANSFORMASI
Transformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :

Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.
Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)
Penyelesaian :
cara 1 : cara langsung

cara 2 : menggunakan matriks

Selasa, 17 Februari 2015

Rumus Bentuk bangun ruang Rumus Volume dan Luas Permukaan

Menghitung luas permukaan bangun ruang sisi datar dan sisi lengkung

Bentuk bangun ruang Rumus Volume dan Luas Permukaan
Kubus : Volume = s x s x s = s3
Luas permukaan = 6 x s2
s ==> panjang rusuk
Balok : Volume = p x l x t
Luas permukaan = (2xpxl) + (2xpxt)+(2xlxt)
= 2(pl + lt + pt)
p ==> panjang; l ==> lebar; t ==> tinggi
Prisma segitiga : Volume = Luas alas x tinggi
Luas permukaan = (2 x L alas)+(K alas x t)
L alas ==> Luas alas (tergantung bentuk alas)
K alas ==> Keliling alas (tergantung bentuk alas)
t ==> tinggi Prisma
Limas segi-4 : Volume = 1/3 x L alas x t
Luas Permukaan = L alas+LTBC+LTCD+LTAD+LTAB
L alas ==> luas alas tergantung bentuk alas
L TBC ==> luas segitiga TBC
L TCD ==> luas segitiga TCD
L TAD ==> luas segitiga TAD
L TaB ==> luas segitiga TAB
L segitiga = ½ x alas segitga x tinggi segitiga
Kerucut : Volume = 1/3 x pr2 x t
Luas permukaan = L alas + L Selimut
= pr2 + prs
= pr(r + s)
Luas selimut = prs
p ==> 22/7 atau 3,14
r ==>jari-jari alas kerucut
s ==> garis pelukis
t ==> tinggi kerucut

ANH

1. Jika diketahui 2 kegemaran pada masalah himpunan, maka gunakan rumus
praktis sbb:
Tkd = Kd + S – (masing-masing)
Dengan keterangan:
Tkd = banyaknya yang tidak gemar keduanya
Kd = banyaknya yang gemar keduanya
S = Semesta
Masing-masing = anggota himpunan masing-masing kelompok yang
diketahui dalam soal.
Contoh soal:
Di kelas 9 ada 40 anak, 25 anak suka bakso, 20 anak suka soto, dan 7 anak
tidak suka bakso dan soto. Berapakah banyaknya anak yang suka bakso dan
soto?
Jawaban:
Tkd = kd + S – (masing-masing)
7 = kd + 40 – (25+20)
7 = kd + 40 – (45)
7 = kd – 5
7+5 = kd
12 = kd
Jadi banyaknya anak yang suka bakso dan soto ada 12 anak. Mau cek
kebenaran jawaban ini? Silakan gunakan diagram Venn.
2. Persamaan Garis Lurus (PGL) yang melalui 2 titik misalkan titik (a,b) dan titik
(c,d) dapat dikerjakan dengan rumus praktis berikut, hanya dalam 4-5 baris
selesai:
(a–c)y = (b–d)x + ad – bc
Contoh soal:
Tentukan PGL yang melalui titik (4,3) dan (1,2)!
Jawaban: a=4, b=3, c=1, d=2
(a–c)y = (b-d)x + ad – bc
(4–1)y = (3-2)x + 4(2) – 3(1)
3y = 1x + 8 – 3
3y = x +5 atau y = 1/3 x +5/3 atau x – 3y+5=0
3. PGL yang // (sejajar) dengan garis ax + by + c = 0 dan melalui titik (p,q) dapat
dicari dengan rumus praktis berikut, hanya dalam 4-5 baris selesai:
ax+by = ap+bq (// urutannya x y p q dikombinasi dengan abab, tandanya +)
Contoh soal:
Tentukan PGL yang // (sejajar) dengan garis 2x – y +4 = 0 dan melalui titik
(3,5)!
Jawaban: a=2, b = –1, p = 3, q = 5
ax + by = ap + bq
2x –1y = 2(3) –1(5)
2x – y = 6 – 5
2x – y = 1, mudahkan? Cuma 4 baris. Nggak percaya? silakan kerjakan
dengan rumus panjang seperti yang diajarkan di sekolah/dalam buku paket.
INGAT: rumus ini dipakai jika PGL yang diketahui sudah berbentuk
ax+by+c=0, jika belum ya ubah dahulu ke bentuk itu.
4. PGL yang ^ (tegaklurus) dengan garis ax + by + c = 0 dan melalui titik (p,q)
dapat dicari dengan rumus praktis berikut, hanya dalam 4-5 baris selesai:
bx–ay = bp–aq (^ urutannya x y p q dikombinasi dengan baba, tandanya –)
Contoh soal:
Tentukan PGL yang tegaklurus dengan garis –3x + 2y –5 = 0 dan melalui titik
(–4,7)!
Jawaban: a=–3, b = 2, p = –4, q = 7
bx–ay = bp–aq
2x –(–3)y = 2(–4) –(–3)(7)
2x + 3y = –6 + 21
2x +3 y = 15, mudahkan? Cuma 4 baris. Nggak percaya? silakan kerjakan
dengan rumus panjang seperti yang diajarkan di sekolah/dalam buku paket.
INGAT: rumus ini dipakai jika PGL yang diketahui sudah berbentuk
ax+by+c=0, jika belum ya ubah dahulu ke bentuk itu.
5. LUAS SEGITIGA:
a. L segitiga samasisi dengan sisi=a, iaitu : ¼ a2Ö3
b. L segitiga sembarang dengan sisi a,b,c, iaitu:
s(s - a)(s - b)(s - c) ; dengan s = ½ (a+b+c) = ½ keliling segitiga.
6. Jika diketahui sebuah soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku dan
diminta mencari panjang salah satu sisi yang belum diketahui, gunakan
rumus praktis pasangan 3 angka yang disebut Tripel Pythagoras (TP) berikut:
TP pokok : 3,4,5 5,12,13 7,24.25 8,15,17 20,21,29
Sedangkan kelipatan dari TP pokok juga merupakan TP, misalkan dikalikan 2
menjadi: 6,8,10 10,24,26 14,48,50, 16,30,34 40,42,58
Contoh kasus pada masalah Garis singgung lingkaran:
1) Dari sebuah titik di luar lingkaran yang berjarak 13 cm, ditarik garis
singgung ke lingkaran yang berjari-jari 5 cm. Tentukan panjang garis
singgung lingkaran tsb!
Jawaban: pasangan angka dlm soal: 13,5,… pasangannya menurut TP
adalah 12, jadi panjang garis singgung lingkaran tsb adalah 12 cm.
2) Dua buah lingkaran berjari-jari 8 cm dan 2 cm. Jika jarak kedua pusatnya
10 cm, tentukan panjang garis singgung persekutuan luarnya!
Jawaban:
GSPL è jari-jarinya dikurangi, yaitu 8 – 2 = 6
Angka satunya 10, menurut TP, maka pasangannya 6,10,8, jadi panjang
garis singgung persekutuan luarnya = 8 cm.
Sementara ini dulu rumus praktis dari saya, semoga ada manfaatnya…

MU

Judul Asli:
Rumus Cepat Matematika SMP 789: Mudah dan Cepat

Anak-anak SMP membutuhkan rumus-rumus matematika yang mudah, masuk akal, dan cepat. Paman APIQ terus eksperimen mengembangkan rumus-rumus matematika yang hebat itu.

Geometri menjadi rumus-rumus penting dalam matematika SMP. Paman APIQ mengusulkan agar kita memudahkan pemahaman geometri bagi anak-anak SMP. Pemahaman menjadi modal utama untuk mengembangkan rumus cepat matematika SMP.

Misal untuk volume prisma – balok, tabung, atau prisma segienam. Kita perlu kenalkan langsung saja volume = alas x tinggi

V = A.t

Contoh soal:

Tentukan volume prisma tegak segienam beraturan bila luas alas = 8 dan tinggi = 10.

Jawab:

V = A.t = 8 x 10 = 80 (Selesai).

Hanya semudah itu?

“Betul. Rumus matematika memang mudah dan cepat!” sahut Paman APIQ.

Persoalan memang menjadi beda bila yang diketahui adalah jari-jari alas = r. Persoalan menjadi lebih rumit karena anak-anak dituntut untuk mencari luas alas segienam dari informasi r. Tidak selalu mudah. Mestinya soal semacam ini diberikan setelah anak-anak kita paham benar dengan konsep volume prisma.

Jadi, saran Paman APIQ, kenalkan konsepnya lebih dulu. Setelah anak-anak paham beri tantangan lebih tinggi lagi.

Mari kita ikuti saran Paman APIQ untuk rumus volume dan luas permukaan bola.

Volume bola adalah,

V = 4/3 (pi) r^3

Apa respon anak-anak terhadap rumus bola di atas?

4/3 sudah menghasilkan pecahan yang tidak cantik. Pi merupakan bilangan irasional. Harapan terakhir pada r tetapi harus dipangkatkan 3.

Paman APIQ mengusulkan agar kita mendekati pi = 3.

Sehingga rumus volume bola menjadi,

$V = 4 r^3$

Anak-anak sangat senang dengan rumus di atas. Anak-anak juga dapat berhitung dengan cepat memanfaatkan rumus di atas. Beberapa latihan membantu anak-anak SMP kita paham konsep volume bola. Sungguh menyenangkan.

Contoh soal:

Hitunglah volume bola yang jejari r = 10 cm.

Jawab:

V = 4 $r^3$

V = 4 $10^3$ = 4.000 (cm^3, Selesai).

Begitu cepat, begitu mudah, begitu kreatif.

Tentu saja karena kita mengambil penedekatan pi = 3 maka hasil perhitungan kita ini adalah kurang sedikit. Sehingga volume bola sebenarnya adalah 4000 lebih sedikit. Tetapi rumus cepat dan mudah di atas membantu anak-anak kita berhitung dengan cepat dan paham.

MMF